Equazioni di secondo grado e scomposizioni

Parliamo di equazioni di secondo grado. Che si possono risolvere in diversi modi, in base alla forma normale nella quale si presentano.

Partiamo da caso generale. Un'equazione algebrica di 2° grado si presenta nella forma:

Se b ≠ 0 e c ≠ 0

l'equazione si dice  completa e si risolve utilizzando la formula risolutiva:

Il termine $\Delta =b^2-4ac$  si dice discriminante (o delta).

• Se $\Delta >0$ l'equazione fornisce due soluzioni che si ottengono applicando la formula risolutiva
• se $\Delta =0$ l'equazione fornisce una soluzione reale  $x_{}={}^{}-\frac{b}{2a}$
• se $\Delta <0$ l'equazione è impossibile in R.

Se $b=0,c\ne 0$ l'equazione si dice pura e diventa $a{x}^2+c=0$.
Le due soluzioni sono $x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Se $b\ne 0,c=0$ l'equazione si dice spuria e si risolve raccogliendo $x(ax+b)=0$ per cui le soluzioni sono $x_1=0,x_2=-\frac{b}{a}$ (che si trovano applicando la legge di annullamento del prodotto).

Ora prova ad esercitarti sulle equazioni complete svolgendo gli esercizi contenuti in questo sito. Troverai i testi e, di seguito, le soluzioni. 

Qui, invece, troverai esercizi da fare sulle equazioni incomplete.

Una volta acquisita la competenza relativa alla soluzione delle equazioni di secondo grado, vediamo come possiamo applicarla. Una delle applicazioni che abbiamo visto in classe riguarda la scomposizione di un trinomio di secondo grado del tipo:

(che, mi raccomando, non è un'equazione ma un trinomio).

Per scomporre un trinomio di secondo grado basta risolvere l'equazione associata al trinomio (devi solo "aggiungere" = 0 al trinomio) e trovarne le eventuali soluzioni.

1) se l'equazione associata presenta 2 soluzioni x1 e x2, il trinomio si scompone nel seguente modo: 

2) se l'equazione associata presenta una sola soluzione x1, il trinomio si scompone come un quadrato di binomio

3) se l'equazione associata è impossibile, il trinomio è irriducibile.

Ecco un esempio:

(Volendo, è possibile applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione e moltiplicare 2 per il secondo fattore in modo da eliminare la frazione, ma non è obbligatorio).

Puoi vedere degli esempi svolti qui.

Ora passiamo alle equazioni di secondo grado fratte. Un questo caso l'incognita compare al denominatore, perciò dobbiamo prima di tutto preoccuparci di fare in modo che il denominatore non si annulli mai (le C.E.  - condizioni di esistenza). Per porre queste condizioni bisogna prima di tutto scomporre tutti i denominatori e in seguito porre ogni fattore diverso da zero. I valori trovati sono le C.E. Adesso l'equazione esiste e possiamo risolverla.

Troviamo il denominatore comune e svolgiamo le somme algebriche presenti.

A questo punto possiamo eliminare il denominatore (che è diventato uno solo) e ci ritroveremo con un'equazione di secondo grado intera che risolveremo come sopra.

Trovate le eventuali soluzioni dell'equazione di seconda grado intera dobbiamo verificare se rispettano le C. E. Se ciò non dovesse accadere, la soluzione si dice "non accettabile" e pertanto non potrà essere una soluzione dell'equazione fratta iniziale. 

Forse non è chiaro, ma questo esempio chiarirà le cose.